The effect of numerical integration in the finite element method for nonmonotone nonlinear elliptic problems with application to numerical homogenization methods

A finite element method with numerical quadrature is considered for the solution of a class of second-order quasilinear elliptic problems of nonmonotone type. Optimal a-priori error estimates for the H and the L norms are derived. The uniqueness of the finite element solution is established for a sufficiently fine mesh. Our results permit the analysis of numerical homogenization methods. To cite this article: A. Abdulle, G. Vilmart, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I ** (20**). Résumé L’effet de l’intégration numérique sur la méthode des éléments finis pour des problèmes nonmonotones elliptiques, avec application aux méthodes numériques d’homogénéisation. On considère des méthodes d’éléments finis avec intégration numérique par quadrature pour des problèmes elliptiques quasilinéaires de type non-monotone. Les vitesses de convergence optimales pour les normes H et L sont démontrées ainsi que l’unicité de la solution numérique pour un maillage suffisamment fin. Ces résultats permettent l’analyse multi-échelles de méthodes d’homogénéisation numérique. Version française abrégée Pour des problèmes elliptiques linéaires ou monotones, l’effet de l’intégration numérique sur la méthode des éléments finis est analysé dans [7,15] et [12]. Cependant, il n’existe à notre connaissance aucune analyse de vitesses de convergence pour des problèmes nonlinéaires de type nonmonotones. Dans [11], la convergence H de la solution numérique est établie, mais sans vitesse de convergence et seulement pour des éléments finis linéaires par morceaux. L’objet de cet article est d’analyser l’influence des erreurs de quadrature pour la méthode des éléments finis appliquée à la classe d’équations elliptiques quasi-linéaires non-monotones (1). Sous des hypothèses usuelles sur le maillage pour des problèmes non-linéaires, sur la régularité des coefficients et des données, et sur les formules de quadrature (Q1),(Q2), également usuelles tant pour des problèmes avec intégration numérique (voir [7] ou [8, Sect. 29]) que pour des problèmes non-linéaires [11,16,10], nous prouvons des estimations optimales d’erreur pour les normes H et L de la méthode d’éléments finis (4), pour des élements simpliciaux ou quadrilatéraux d’ordre arbitraire. Nous prouvons également l’unicité de la solution numérique. Une application importante de notre étude est une analyse (avec discrétisation totale des échelles à la fois macroscopiques et microscopiques) d’une méthode d’homogénéisation numérique du type [1,2,3,10] Email addresses: [email protected] (Assyr Abdulle), [email protected] (Gilles Vilmart). Preprint submitted to the Académie des sciences 9 septembre 2011 pour une classe de problèmes non-linéaires d’homogénisation. La méthode d’homogénéisation numérique considérée peut être interprétée comme une méthode des éléments finis mise en œuvre sur un schéma macroscopique, avec intégration numérique en la variable macroscopique, couplée à des schémas microscopiques mis en œuvre sur des micro-cellules contenues dans le maillage macroscopique. Pour la classe de problèmes nonmonotones (13), il n’existait jusqu’alors qu’une analyse semi-discrete et pour les dimensions d ≤ 2. Notre analyse, avec discrétisation totale, permet de traiter la dimension d ≤ 3. De plus, nous proposons une analyse de convergence (optimale) dans la norme L. Nous améliorons aussi l’estimation de l’erreur dite de résonnance et démontrons la convergence de la méthode de Newton utilisée pour calculer en pratique une solution du système non-linéaire. Plus de détails sur les résultats et l’analyse présentée ici sont donnés dans [4] (une seule échelle) et [5] (problèmes multi-échelles).